Mathematik ist im gesamten Studium immer wieder nötig. Das Gute: es geht nicht nur um abstrakte Zahlenspiele, sondern immer um eine direkte Anwendung. Trotzdem müssen mathematische Berechnungen beherrscht werden. Die folgenden Beispielaufgaben repräsentieren einige der grundlegenden mathematischen Konzepte, die Ingenieur:innen, insbesondere im Bereich Umwelttechnik, benötigen. Differenzial- und Integralrechnung, lineare Algebra und Differenzialgleichungen sind Schlüsselkomponenten, die in vielen Ingenieurdisziplinen Anwendung finden, um realweltliche Probleme zu modellieren und zu lösen.
Schau Dir mal die folgenden Beispielaufgaben an und versuche Dich an einer Lösung.
Wenn das hier nicht ganz einfach für Dich ist, dann ist ein kostenloser Vorkurs Mathematik sehr empfehlenswert. Die Abteilung Bau & Umwelt der Fakultät 2 der Hochschule Bremen bietet vor dem Studienstart auch einen Vorbereitungskurs Mathematik an, ebenso gibt es einen Selbstlernkurs in der hochschulinternen Lernplattform AULIS (Zugriff erst nach Zulassung zum Studium).
Im ersten und zweiten Semester wird Mathematik auch als Modul unterrichtet (siehe Curriculum).
Differenzialrechnung ist oft relevant für die Analyse von Veränderungen und Steigungen, die in Ingenieurstudien, einschließlich Umwelttechnik, eine wichtige Rolle spielen. Solche Ableitungen werden schon in den ersten Wochen der Vorlesung zur Kinematik (Physik) angewandt, wie bspw. in diesem Lehrvideo von Studiengangsleiter Prof. Dr. Lars Jürgensen.
Gegeben ist die Funktion \( f(x)=3x^2−2x+5 \). Berechne die Ableitung \(f′(x)\).
Integralrechnung ist in der Ingenieursmathematik wichtig, um beispielsweise Flächen, Volumina oder Schwerpunkte zu berechnen.
Berechne das bestimmte Integral \( \int_0^2(4x^3-2x)\,\mathrm{d}x\).
Kurvendiskussion ist in der Umwelttechnik relevant, da sie Ingenieur:innen befähigt, Modelle und Daten besser zu verstehen. Zum Beispiel könnte die Analyse von Schadstoffkonzentrationen oder Reaktionsraten in Umweltprozessen mithilfe von Funktionen und deren Eigenschaften erfolgen. Eine gründliche Kurvendiskussion ermöglicht es, Einblicke in das Verhalten von Umweltprozessen auf mathematischer Ebene zu gewinnen.
Betrachte die Funktion \( g(x)=2x^3−6x^2+4x+1 \). Führe eine Kurvendiskussion durch, einschließlich der Bestimmung von Extremstellen, Wendepunkten und Symmetrie.
Bestimmung der Ableitungen:
\( g′(x)=6x^2−12x+4 \)
Extremstellen:
Setze \( g′(x)=0 \) und löse für \(x\) auf, um kritische Punkte zu finden: Diese quadratische Gleichung kann durch die Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden. Die Lösungen sind die x-Koordinaten der Extremstellen.
Hier sind \(a=6\), \( b=−12\) und \( c=4\).
\(x=\frac{12\pm\sqrt{(12)^2-4(6)(4)}}{2(6)} \\Die Extremstellen sind also:
\(x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{3} \\
Wendepunkte:
Wendepunkte treten auf, wenn die zweite Ableitung\( g′′(x)\) gleich Null ist oder nicht existiert. Setzen wir also \(g′′(x)\) gleich Null:
Symmetrie:
Untersuchen wir die Symmetrie der Funktion: \(g(x)\) ist eine ungerade Funktion, da alle Exponenten der Terme ungerade sind.
Daher ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Anwendung der Sinus- und Cosinus-Funktion auf das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck in dieser Aufgabe ist wichtig, um die Kräfte auf der schiefen Ebene zu analysieren. In der Umwelttechnik spielen schräge Flächen oft eine Rolle, sei es bei der Neigung von Abhängen oder in der Konstruktion von Anlagen. Das Verständnis von Kräften entlang der Neigung ist entscheidend für die Sicherheit und Stabilität von Strukturen. In diesem Fall ermöglicht die Berechnung von der Normalkraft \(F_N\) und der Hangabtriebskraft \(F_H\) eine präzise Einschätzung der Druck- und Zugkräfte auf die schräge Ebene und ist daher relevant für das Verständnis und die Planung von umwelttechnischen Anlagen und Konstruktionen.
Eine Kiste mit der Masse \(m=60\mathrm{ kg} \) sitzt auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel \(α=15°\) zur Horizontalen. Bestimme die Normalkraft \(F_N\), welche den Körper senkrecht zur Ebene andrückt, und die Hangabtriebskraft \(F_H\), welche die Kiste parallel zur Ebene beschleunigt. Rechne mit \(g≈10 \mathrm{m/s^2}\).
Gewichtskraft \(F_G\):
\(F_G=m⋅g=60 \mathrm{kg}⋅10 \mathrm{m/s^2}=600 \mathrm{N}\)
Normalkraft \(F_N\):
\(F_N=cos(α)⋅F_G=cos(15°)⋅600 \mathrm{N}\)
\(F_N≈579,6 \mathrm{N}\)
Hangabtriebskraft \(F_H\):
\(F_H=sin(α)⋅F_G=sin(15°)⋅600 \mathrm{N}\)
\(F_H≈155,3 \mathrm{N}\)
Differenzialgleichungen sind in Ingenieurstudien relevant, um dynamische Prozesse und Systeme zu modellieren, die in der Umwelttechnik oft eine Rolle spielen. (Das ist allerdings gehobenes Abitur-Niveau, was im Studium nur vereinzelt vorkommt.)
Löse die Differenzialgleichung \( \frac{dy}{dx} = 2y \) mit der Anfangsbedingung \(y(0)=1\).
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